[RISOLTO] Non e' vero che la potenza e' la coppia per il numero di giri?

[Guest frallog]

Il punto e' che *** secondo calcoli esatti di fisica *** la potenza ***non*** e' pari alla coppia per il numero di giri. Infatti secondo questi calcoli questo e' vero solo in forma approssimata e per un numero di giri non troppo elevato. Allo stesso modo la curva di coppia e' pari alla derivata della curva di potenza solo in forma approssimata, per un basso numero di giri. Chiedo a qualche ingegnere presente sul forum di controllare questi miei calcoli, e se sono sbagliati spiegarmi dove e perche' lo sono.

Thank in advance and regards,

Francesco 8)))

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Porremo:

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z = omega = velocita' angolare

E = energia (rotazionale)

W = potenza

I, IP = quantita' dipendenti dalla forma

e dalla distribuzione di massa

ro = densita' (funzione della posizione)

SC = prodotto scalare

VE = prodotto vettoriale

D2 = differenziale del second'ordine

IN| = Integrale

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.....

Iniziamo con l'energia rotazionale e la

relativa potenza di un corpo rigido

.....

dE = dF SC ds = dm a ds = dm dv/dt ds =

= dm (d (z r)/dt) ds = dm r dz/dt ds =

= dm r dz/dt z r dt = dm r^2 z d(z) =

= ro dV r^2 z d(z)

allora:

E = IN| z d(z) IN| ro r^2 dV

Posto: I = IN| ro r^2 dV si ricava:

E = 1/2 I z^2

W = dE/dt = I z dz/dt

dW/dz = I d/dz ( z dz/dt ) = I dz/dt + I z D2(z)/(dzdt) =

= [ dz/dt >> z D2(z)/(dzdt) ] = I dz/dt

per cui:

1) dW/dz = I dz/dt

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Vale pure la pena di spendere due parole sulla condizione di approssimazione.

dz/dt >> z D2(z)/(dzdt) =>

=> dz/dt >> z D2(z)/(dz/dt * dt^2) =>

=> (dz/dt)^2 >> z D2(z)/dt^2 =>

=> 1/z (dz/dt)^2 >> D2(z)/dt^2

ovvero:

1') 1/z (dz/dt)^2 >> D2(z)/dt^2

ora questa condizione ai bassi regimi e' garantita dal fattore 1/z mentre agli alti regimi potrebbe essere non valida, a meno che il fattore dal fattore dz/dt sia a sua volta molto maggiore del fattore D2(z)/dt^2

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.....

Andiamo ora a calcolare la "coppia" che e' un momento di forza.

.....

dT = R VE dF = R dF = R dm a = R dm dv/dt =

= R dm d(zr)/dt = R r dm dz/dt = R r ro dV dz/dt

T = IN| R r ro dV dz/dt = dz/dt IN| R r ro dV

Posto: IP = IN| R r ro dV si ha:

2) T = IP dz/dt

Paragonando tale formula a quella precedentemente ottenuta per dW/dz di ricava che a meno di un fattore spaziale dipendente dalla geometria e dalla distribuzione di massa del corpo solido l'andamento della curva di coppia ***ricalca*** quello della derivata prima (rispetto alla velocita' angolare) della potenza. Il tutto poi e' valido solo sotto certi criteri di approssimazione.

Dunque questa dimostrazione dimostra anche che la derivata prima della potenza rispetto alla velocita' angolare e la coppia non sono per niente la stessa cosa, anche se hanno lo stesso andamento. Tra l'altro si riferiscono a grandezze fisiche differenti.

Veniamo ora al punto "caldo".

In particolare dalla 2) si ha:

T = IP dz/dt da cui:

dz/dt=T/IP

e sostituendo questo valore nella 1) si ottiene:

dW/dz = I dz/dt = I T/IP

ovvero:

3) dW/dz = I/IP T

Ora integrando questa equazione in dz si ha

IN|dW/dz dz = I/IP IN|T dz

da cui se e solo se T =/= T(z) (cosa che non e') si ha:

W-W0 = I/IP T * (z-z0)

per z0=0 si ha anche W0=0 per cui l'equazione precedente si trasforma in:

4) W(z) = I/IP T*z

Si nota la presenza del fattore I/IP che e' presumibilmente differente da 1.

Ora invece la formula che trovo sul libro e':

4') W(z) = 1/1000 T*z

La 4' presumibilmente misura la potenza in Kw. Passando dai Kw ai watt per il sistema MKSA si ha:

4") W(z) = T*z

Premesso che il libro e' un noto testo di elementi di macchine e dunque probabilmente non sbaglia, mi chiedo: dove ho sbagliato io?

Ma la (4") presuppone che sia valida la (4) il che e' vero se e solo se e' valida l'approssimazione (1') che potrebbe non essere verificata ad elevatissimo numero di giri.

Opinioni in merito sono mooolto gradite.

Regards,

Francesco

[TonyH]

Allora: la potenza è COPPIA x VELOCITA' ANGOLARE (w)

Se te hai invece il numero di giri la formuletta è:

0.1047 x Coppia x numero giri

con 0.1047 è il risultato di 2*(pigreco)/60, ovvero come si trasforma la velocittà angolare omega (espressa in rad/s) in giri/minuto

Il risultato è in W (Watt).

Adesso controllo un secondo i calcoli tuoi...

[cbwin]

Allora: la coppia è POTENZA x VELOCITA' ANGOLARE (w)

ma non è il contrario?

Potenza = Coppia x w (velocità angolare) ?

[TonyH]

ma non è il contrario?

Potenza = Coppia x w (velocità angolare) ?

Emh si....oggi sono un pò fuso!

[Guest frallog]

Lasciate stare la differenza tra velocita' angolare o il numero di giri. Tanto va tutto nella costante. Il punto e' quella approssimazione che potrebbe non essere piu' valida ad esempio a 20000 rpm.

Regards,

Francesco 8)))

[Regazzoni]

ma non è il contrario?

Potenza = Coppia x w (velocità angolare) ?

Confermo questa.

[spikefunk]

Non vorrei cadere in errore, visto che non conosco molte finezze fisiche, ma da ingegnere la formuletta P=M x omega è valida solo nel caso si consideri un albero (o un corpo rigido) che ruota a velocita' costante a cui venga applicato un certo momento torcente anch'esso costante.

[Autodelta85]

Non prentemi male....

ma sul libro "Motori ad alta potenza specifica" di Pignone è messo ben in risalto che la formula base pot=coppia*n_giri è una formula sintetica mentre la formula analitica della potenza è ben + complessa e comprende diversi tipi di rendimenti del nostro motore e molteplici parametri come la superficie dei pistoni ecc ecc...

io penso che la formula base sia utile solo a livello concettuale ma non a livello matematico...

[Guest frallog]

Grazie SpikeFunk!!!!!!!!

Io penso che questo sia verissimissimissimooooo!!!

Altrimenti nelle equazioni che io prima ho scritto non potrei portare la coppia fuori il segno di integrale e non otterrei il prodotto!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ottimisssimisssimisssimo!!!!!!!!!!!!

Ora inizio a vederci un poco poco poco piu' chiaro!!!!!!!

Regards,

ma che dico BEST REGARDS,

Francesco 8)))

[Regazzoni]

Arrivo anch'io a dire che comunque, per quanto alcune delle considerazioni fatte siano corrette, rimane il fatto che i grafici di coppia e di potenza dei motori rispondono effettivamente alla semplice formula P=C*w.

Quaesto perchè si riferiscono alla coppia e lla potenza all'albero motore (quindi il motore è visto come una scatola nera e i vari rendimenti interni influiscono allo stesso modo su coppia e potenza che quindi rimangono esattamente correlati) e sono dati presi a regime, cioè con il motore a velocità costante (quindi gli effetti dei vari momenti d'inerzia e delle accelerazioni-decelerazioni non ci sono).

E mi sbilancio ancor di più dicendo che probabilmente quella misurata al banco è solo la coppia (che può essere facilmente misurata con un torsiometro), mentre la potenza viene solamente e semplicemente calcolata moltiplicando C*w.

Spero di non aver deluso nessuno.